Xét phiếm hàm

J [ y ] = ∫ x 1 x 2 L ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) ) d x . {\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,y(x),y'(x))\,dx\,.}

với

x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} là các hằng số, y ( x ) {\displaystyle y(x)} là một hàm khả vi liên tục hai lần (i.e. khả vi hai lần và đạo hàm cấp hai là liên tục), y ′ ( x ) = d y / d x {\displaystyle y'(x)=dy/dx} L ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) ) {\displaystyle L(x,y(x),y'(x))} là một hàm khả vi liên tục hai lần đối với các biến số x , y , y ′ {\displaystyle x,y,y'} .

Phương trình Euler-Lagrange ứng với phiếm hàm này là

∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}

Thí dụ

Để minh họa, xét bài toán tìm hàm cực trị y = f (x) ứng với đường cong nối hai điểm (x1, y1) và (x2, y2). Độ dài cung của đường cong được cho bởi

A [ y ] = ∫ x 1 x 2 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x , {\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}

với

y ′ ( x ) = d y d x ,     y 1 = f ( x 1 ) ,     y 2 = f ( x 2 ) . {\displaystyle y\,'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.} [lower-alpha 4]

Áp dụng phương trình Euler-Lagrange

∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}

với

L = 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 . {\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}

ta thu được các nghiệm

f ( x ) = m x + b với     m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 và b = x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 − x 1 {\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{với}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{và}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}